百钱买百鸡的问题算是一套非常经典的不定方程的问题,题目很简单:公鸡5文钱一只,母鸡3文钱一只,小鸡3只一文钱,

用100文钱买一百只鸡,其中公鸡,母鸡,小鸡都必须要有,问公鸡,母鸡,小鸡要买多少只刚好凑足100文钱。

分析:估计现在小学生都能手工推算这套题,只不过我们用计算机来推算,我们可以设公鸡为x,母鸡为y,小鸡为z,那么我们

可以得出如下的不定方程,

x+y+z=100,

5x+3y+z/3=100,

下面再看看x,y,z的取值范围。

由于只有100文钱,则5x<100 => 0<x<20, 同理  0<y<33,那么z=100-x-y,

好,我们已经分析清楚了,下面就可以编码了。

复制代码

 1     class Program
 2     {
 3         static void Main(string[] args)
 4         {
 5             //公鸡的上线
 6             for (int x = 1; x < 20; x++)
 7             {
 8                 //母鸡的上线
 9                 for (int y = 1; y < 33; y++)
10                 {
11                     //剩余小鸡
12                     var z = 100 - x - y;
13 
14                     if ((z % 3 == 0) && (x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100))
15                     {
16                         Console.WriteLine("公鸡:{0}只,母鸡:{1}只,小鸡:{2}只", x, y, z);
17                     }
18                 }
19             }
20             Console.Read();
21         }
22     }

复制代码

结果出来了,确实这道题非常简单,我们要知道目前的时间复杂度是O(N2),实际应用中这个复杂度是不能让你接受的,最多最多能让

人接受的是O(N)。

所以说我们必须要优化一下,从结果中我们可以发现这样的一个规律:公鸡是4的倍数,母鸡是7的递减率,小鸡是3的递增率,规律哪里

来,肯定需要我们推算一下这个不定方程。

x+y+z=100          ①

5x+3y+z/3=100    ②

令②x3-① 可得

7x+4y=100

=>y=25-(7/4)x          ③

又因为0<y<100的自然数,则可令

x=4k                    ④

将④代入③可得

=> y=25-7k               ⑤

将④⑤代入①可知

=> z=75+3k               ⑥

要保证0<x,y,z<100的话,k的取值范围只能是1,2,3,下面我们继续上代码。

复制代码

 1     class Program
 2     {
 3         static void Main(string[] args)
 4         {
 5             int x, y, z;
 6 
 7             for (int k = 1; k <= 3; k++)
 8             {
 9                 x = 4 * k;
10                 y = 25 - 7 * k;
11                 z = 75 + 3 * k;
12 
13                 Console.WriteLine("公鸡:{0}只,母鸡:{1}只,小鸡:{2}只", x, y, z);
14             }
15 
16             Console.Read();
17         }
18     }

复制代码

这一次我们做到了O(N)的时间复杂度,很不错,起码优化到了我能接受的范围内,或许我们感觉到了数学的魅力,是的,因为….

数学是科学的皇后。皇上自然就是物理了…

转自博客园